統(tǒng)計學(xué)上采用回歸分析方法研究成因果關(guān)系的相關(guān)變量之間的關(guān)系。表示原因的變量稱為自變量，表示結(jié)果的變量稱為依變量。即一個自變量與一個依變量的回歸分析稱為一元回歸分析。

一元回歸分析又分為線性回歸分析與曲線回歸分析兩種。

在建立一元線性回歸方程中，雖然有很多種不同的方法來求樣本回歸函數(shù)，但是在回歸分析中最常用的方法就是最小二乘法。

一、最小二乘法的定義

最小二乘法的定義是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。最小二乘法通過最小化誤差的平方和來求解最優(yōu)解。這種方法在解決線性方程組、數(shù)據(jù)擬合等問題時非常有效。

二、最小二乘法在一元回歸分析中的應(yīng)用

如果變量x與y有精確的線性關(guān)系比如說 y=bx+a，那么觀測值與回歸值是相等的。然而在實際工作中諸多變量的關(guān)系不一定都是如此，由于受到許多隨機(jī)因素的干擾使得物與物之間沒有那么明確的一一對應(yīng)關(guān)系。那么我們就需要通過數(shù)學(xué)的方法來使之對應(yīng)。首先通過試驗取得數(shù)據(jù)，其次把數(shù)據(jù)繪出來，然后擬合一條跟已知的函數(shù)圖像最為接近的曲線，這樣就可以相對地將他們之間的關(guān)系表示出來了，在處理諸如此類的事件中常常應(yīng)用到最小二乘法。

（一）最小二乘法在線性回歸分析中的應(yīng)用計算

（二）最小二乘法在曲線回歸分析中的應(yīng)用計算

三、一元回歸分析在工程檢測中的應(yīng)用

例1：膠水比與實測抗壓強(qiáng)度線性方程

根據(jù)《普通混凝土配合比設(shè)計規(guī)程》JGJ 55-2011第6.2.1條第1點(diǎn)根據(jù)混凝土試驗結(jié)果，宜繪制強(qiáng)度和膠水比的線性關(guān)系圖確定略大于配制強(qiáng)度對應(yīng)的膠水比。

根據(jù)試驗數(shù)據(jù)求線性方程y=bx+a

由數(shù)據(jù)求得

根據(jù)上文計算公式

即線性方程y=28.943x-25.457

再利用Excel繪制線性曲線方程，兩個方程相同。(如下圖1所示)

圖1 Excel繪制線性方程

例2：土工擊實試驗ρd-ω關(guān)系曲線計算

根據(jù)《公路工程無機(jī)結(jié)合料穩(wěn)定材料試驗規(guī)程》JTG3441-2024 T 0809-1994“無機(jī)結(jié)合料穩(wěn)定材料擊實試驗方法”第5.3.2條要求，試驗各點(diǎn)宜采用二次曲線方法擬合。

再利用Excel繪制二次曲線方程，兩個方程相同。(如下圖2所示)

圖2 Excel繪制二次曲線方程

一元回歸分析在工程檢測中的應(yīng)用還有很多，例如水泥或石灰穩(wěn)定材料中水泥或石灰劑量測定方法(EDTA滴定法)EDTA二鈉標(biāo)準(zhǔn)溶液含量與水泥/石灰劑量標(biāo)準(zhǔn)曲線、平板荷載中千斤頂液壓表與荷載強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)曲線等等。

對于上述擊實試驗實例中，此次計算是按規(guī)范要求采用二次曲線擬合，根據(jù)實測數(shù)據(jù)，還可以進(jìn)行三次曲線擬合或更高次曲線擬合，擬合出的曲線方程計算出的最優(yōu)含水率、最大干密度可能更貼合實際數(shù)據(jù)。有興趣的小伙伴可以利用上述計算公式或其他軟件進(jìn)行計算研究。

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